变限积分函数求导

对变限积分函数进行求导一般使用莱布尼茨积分法则（ Leibniz integral rule），用于计算积分上下限都是 $t$ 的函数且被积函数也依赖于 $t$ 的积分的导数。下面来详细证明这个公式：

$$ \frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t) \, dx = f(b(t),t)b'(t) - f(a(t),t)a'(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx $$

证明过程

我们考虑函数：

$$ F(t) = \int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t) \, dx $$

根据导数的定义：

$$ \begin{align*} F'(t) &= \lim_{h \to 0} \frac{F(t+h) - F(t)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \int_{a(t+h)}^{b(t+h)} f(x,t+h) \, dx - \int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t) \, dx \right] \end{align*} $$

将第一个积分拆分为三部分：

$$ \int_{a(t+h)}^{b(t+h)} f(x,t+h) \, dx = \int_{a(t+h)}^{a(t)} f(x,t+h) \, dx + \int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t+h) \, dx + \int_{b(t)}^{b(t+h)} f(x,t+h) \, dx $$

代入原式：

$$ \begin{align*} F'(t) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \int_{a(t+h)}^{a(t)} f(x,t+h) \, dx + \int_{a(t)}^{b(t)} [f(x,t+h) - f(x,t)] \, dx + \int_{b(t)}^{b(t+h)} f(x,t+h) \, dx \right] \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a(t+h)}^{a(t)} f(x,t+h) \, dx + \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a(t)}^{b(t)} [f(x,t+h) - f(x,t)] \, dx + \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{b(t)}^{b(t+h)} f(x,t+h) \, dx \end{align*} $$

现在分别计算这三个极限：

第一项：

$$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a(t+h)}^{a(t)} f(x,t+h) \, dx = -\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a(t)}^{a(t+h)} f(x,t+h) \, dx $$

根据 积分中值定理，存在 $\xi$ 在 $a(t)$ 和 $a(t+h)$ 之间，使得：

$$ \int_{a(t)}^{a(t+h)} f(x,t+h) \, dx = f(\xi,t+h)(a(t+h)-a(t)) $$

所以：

$$ \begin{align*} -\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a(t)}^{a(t+h)} f(x,t+h) \, dx &= \underbrace{-\lim_{h \to 0} f(\xi,t+h) \frac{a(t+h)-a(t)}{h} = -\lim_{h \to 0} f(\xi,t+h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a(t+h)-a(t)}{h}}_{\text{Since the limits exist, we can use the rules of limit arithmetic.}} \\ &= -f(a(t),t)a'(t) \end{align*} $$

当 $h \to 0$ 时不难得到 $\xi \to a(t)$。

第二项：

$$ \begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a(t)}^{b(t)} [f(x,t+h) - f(x,t)] \, dx &= \int_{a(t)}^{b(t)} \lim_{h \to 0} \frac{f(x,t+h) - f(x,t)}{h} \, dx \\ &= \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx \end{align*} $$

第三项同样可以类似于第一项：

$$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{b(t)}^{b(t+h)} f(x,t+h) \, dx $$

根据积分中值定理，存在 $\eta$ 在 $b(t)$ 和 $b(t+h)$ 之间，使得：

$$ \int_{b(t)}^{b(t+h)} f(x,t+h) \, dx = f(\eta,t+h)(b(t+h)-b(t)) $$

所以：

$$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{b(t)}^{b(t+h)} f(x,t+h) \, dx = \lim_{h \to 0} f(\eta,t+h) \frac{b(t+h)-b(t)}{h} = f(b(t),t)b'(t) $$

当 $h \to 0$ 时不难得到 $\eta \to b(t)$。

将三部分结果相加：

$$ \begin{align*} F'(t) &= -f(a(t),t)a'(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx + f(b(t),t)b'(t) \\ &= f(b(t),t)b'(t) - f(a(t),t)a'(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx \end{align*} $$

这就证明了莱布尼茨积分法则。

直观理解

这个公式可以理解为：当积分上下限随 $t$ 变化时，导数包含三部分：

  1. 上限 $b(t)$ 变化带来的影响：$f(b(t),t)b'(t)$
  2. 下限 $a(t)$ 变化带来的影响：$-f(a(t),t)a'(t)$
  3. 被积函数 $f(x,t)$ 随 $t$ 变化带来的影响：$\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$

这就像在计算一个动态变化的面积，面积的变化来自三个因素：上边界移动、下边界移动和内部「高度」的变化。

参考资料

对于如何将莱布尼茨积分法则用于含有变上限的二重积分的函数的例子可以参考： Applying Leibniz’s Rule to Double Integrals with Variable Limits