LC 1137.N-th Tribonacci Number

题目描述

这是 LeetCode 上的 1137. 第 N 个泰波那契数 ，难度为简单。

泰波那契序列 Tn 定义如下：

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1：

输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：

输入：n = 25
输出：1389537

提示：

• 0 <= n <= 37
• 答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。

解答

方法一：动态规划

给出了递推的方程之后，就是给出了状态转移方程，直接类似斐波那契数列模拟一下，为了不用处理特殊情况，向前递推两项。

class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        int t0 = 1, t1 = 0, t2 = 0; // 求出T0的前两项，此时的t2就是给的条件中的T0
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int tmp = t2;
            t2 += t0 + t1;
            t0 = t1;
            t1 = tmp;
        }
        return t2;
    }
}

• 时间复杂度：\(O(n)\) ，其中 n 为数字 n 的大小。

• 空间复杂度：\(O(1)\)。

方法二：矩阵快速幂

@Source:题解来源

不了解矩阵快速幂的可以参看LC 0070.Climbing Stairs - Abel's Blog (chen-hu和快速幂，使用矩阵快速幂可以降低时间复杂度。

首先构建一个递推关系的矩阵形式： \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T(n) \\ T(n - 1) \\ T(n - 2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T(n) + T(n - 1) + T(n - 2) \\ T(n) \\ T(n - 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T(n + 1) \\ T(n) \\ T(n - 1) \end{bmatrix} \] 因此： \[ \begin{bmatrix} T(n + 2) \\ T(n + 1) \\ T(n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ^n \begin{bmatrix} T(2) \\ T(1) \\ T(0) \end{bmatrix} \] 令： \[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] 因此只要能够快速计算矩阵 M 的 n 次幂，就可以快速得到 T(n) 的值。如果直接求 \(M^n\) ，时间复杂度为 \(O(n)\) ，可以定义矩阵乘法，然后用快速幂来加速计算 \(M^n\)。

class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n <= 2) {
            return 1;
        }
        int[][] q = {{1, 1, 1}, {1, 0, 0}, {0, 1, 0}};
        int[][] res = pow(q, n);
        return res[0][2];
    }
    
    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        int[][] ret = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) { // 当末尾的二进制位为非0的时候才需要乘
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a); // 计算下一个项
        }
        return ret;
    }
    
    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[3][3];
        for (int i = 0; i < 3; ++i) {
            for (int j = 0; j < 3; ++j) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j] + a[i][2] * b[2][j];
            }
        }
        return c;
    }
}

• 时间复杂度：\(O(\log n)\)，其中 n 为数字 n 的大小，每次数字都折半。

• 空间复杂度：\(O(1)\)。

每题一图